解：设球半径为a，圆心位于原点，则其上半部的方程为z＝（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5．
dz／dx＝－x／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5，dz／dy＝－y／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5．由此得，球体表面积为：A＝2∫∫（D）a／（a＾2－x＾2－y＾2）＾0．5dρ。其余部分详见图。
扩展资料
极限理论
十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。
十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。
整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。
极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。
球体表面积和体积的回答如下：
球体表面积和体积是数学和物理学中的重要概念。在三维空间中，球体是一种由球心和半径确定的立体图形。球心是球体内任意一点，而半径则是从球心到球面任一点的距离。球体表面积的计算公式为：4πr?
其中，r是球的半径，π是圆周率（约等于3.14159）。这个公式可以理解为球体在三维空间中展开的表面积，也可以理解为球体表面的“面积”。球体体积的计算公式为：4/3πr?
其中，r是球的半径，π是圆周率（约等于3.14159）。这个公式可以理解为球体内所有物质的“体积”，也可以理解为球体在三维空间中占据的空间大小。
拓展知识：
球体的性质：
球体具有旋转对称性，即绕其直径旋转一周，可以得到一个完全相同的球体。此外，球体的表面积和体积都与半径有关，当半径增大时，球体的表面积和体积都会增大。
球体的应用：
球体在现实生活中有着广泛的应用。例如，在建筑学中，球体被用来设计出具有优美外观的建筑物，如上海东方明珠电视塔；在物理学中，球体被用来研究物体的运动规律，如牛顿万有引力定律；在化学中，球体被用来描述分子的形状和性质，如水分子是极性分子。
球体的近似计算：
当需要计算球的近似值时，可以使用一些简单的近似公式。例如，对于较小的半径，可以使用圆柱体的表面积和体积来近似计算球的表面积和体积。
圆柱体的表面积和体积分别为：2πrh+2πr?和πr?h+πr?，其中r是圆柱体的底面半径，h是圆柱体的高。这些公式可以用来估计球的表面积和体积的大致范围。
总之，球体表面积和体积是数学和物理学中的重要概念，它们在三维空间中有着广泛的应用。通过学习和掌握这些概念和公式，我们可以更好地理解三维空间中的物体形状和大小，也可以更好地解决现实生活中遇到的问题。
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我是博羽号的签约作者“瑰瑰”！
希望本篇文章《怎么用微积分证明球的表面积和体积公式？》能对你有所帮助！
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